BAB
I PENDAHULUAN
A.
Deskripsi
Buku ajar ini mengkaji materi aljabar yang diajarkan di SMP. Materi yang
dikaji meliputi (1) bentuk aljabar, (2) persamaan, (3) pertidaksamaan linear
satu variabel, (4) perbandingan, (5) relasi dan fungsi, (6) sistem persamaan
linear dua variabel.
B.
Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari buku ajar ini adalah pemahaman materi
pembelajaran matematika di Sekolah Menengah Pertama.
C.
Petunjuk Belajar
Langkah-langkah dalam mempelajari buku ajar ini:
1.
Pelajari materi sesuai urutan yang disajikan dalam buku
ini.
2.
Pelajari buku-buku yang relevan dengan materi buku ajar
ini antara lain buku-buku pelajaran matematika SMP.
3.
Diskusikan materi yang ada dalam buku ajar ini dengan
teman sejawat/peserta pelatihan.
4.
Kerjakan soal-soal yang ada dalam buku ajar ini.
D.
Kompetensi dan Indikator
Kompetensi yang diharapkan setelah mempelajari bahan ajar ini adalah:
1.
Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan
linear satu variabel.
2.
dapat menggunakan bentuk aljabar, persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel, dan perbandingan dalam pemecahan masalah.
3.
Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam
pemecahan masalah
4.
Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan
garis lurus
5.
Memahami sistem persa-maan linear dua variabel dan menggunakannya dalam pemecahan masalah
Setelah mempelajari bahan ajar ini Anda diharapkan dapat:
1.
Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya
2.
Melakukan operasi pada bentuk aljabar
3.
Menyelesaikan persamaan linear satu variabel
4.
Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel
5.
Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan
linear satu variabel
6.
enyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
7.
Menggunakan perbandingan untuk pemecahan masalah
8.
Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta
penyajiannya
9.
Memahami konsep himpunan bagian
10.
Melakukan operasi irisan, gabungan, selisih (difference),
dan komplemen pada himpunan
11.
Menyajikan himpunan dengan diagram Venn
12.
Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah
13.
Melakukan operasi aljabar
14.
Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya
15.
Memahami relasi dan fungsi
16.
Menentukan nilai fungsi
17.
Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada
sistem koordinat Cartesius
18. Menentukan
gradien, persamaan dan grafik garis lurus
19.
Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel
20.
Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dua variabel
21.
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya
BAB II KEGIATAN
BELAJAR 2
A.
Kompetensi dan Indikator
1. Kompetensi
a.
Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan
linear satu variabel.
b.
dapat menggunakan bentuk aljabar, persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel, dan perbandingan dalam pemecahan masalah.
2. Indikator
Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini,
Anda diharapkan dapat:
a.
Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya
b.
Melakukan operasi pada bentuk aljabar
c.
Menyelesaikan persamaan linear satu variabel
d.
Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel
e.
Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel
f.
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
g.
Menggunakan perbandingan untuk pemecahan masalah
B.
Uraian Materi
1. Bentuk Aljabar
Bentuk , , disebut sebagai bentuk aljabar. Dalam bentuk aljabar
terdapat istilah koefisien, peubah (variabel) dan konstanta. Dalam bentuk
aljabar , diperoleh koefisien suku pertama adalah 6, koefisien
suku kedua adalah 1, peubahnya adalah x dan y, dan 3 dinamakan konstanta. Berdasarkan peubah yang terdapat
pada setiap suku dalam bentuk aljabar, dapat dibedakan antara suku sejenis dan
tidak sejenis. Dua suku bentuk aljabar dikatakan sejenis apabila kedua suku
tersebut (i) identik, atau (ii) hanya
berbeda pada koefisiennya.
Contoh 1.1
Suku sejenis dengan
suku karena memenuhi
(i)
Suku sejenis dengan
suku karena memenuhi
(ii)
Contoh 1.2
Suku dan tidak sejenis
karena tidak memenuhi (i) dan (ii)
Suku dan tidak sejenis
karena tidak memenuhi (i) dan (ii)
Penyederhanaan
penjumlahan dan pengurangan bentuk bentuk aljabar hanya dapat dilakukan untuk
suku sejenis.
Contoh
1.3
2xy + 3xy dapat
disederhanakan menjadi 5xy.
3x2 + 2y2 tidak dapat disederhanakan.
Syarat suku sejenis tidak berlaku untuk operasi perkalian
dan pembagian. Dalam perkalian dan pembagian bentuk aljabar, koefisien
dioperasikan dengan koefisien dan peubah dioperasikan dengan peubah. Sifat-sifat yang berlaku antara lain:
(1).
(2).
(3).
Contoh
1.4
Sederhanakan operasi
bentuk aljabar .
Penyelesaian:
.
2. Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan adalah kalimat
terbuka yang memiliki hubungan sama dengan. Persamaan yang mengandung satu
peubah berpangkat 1 dinamakan persamaan linier satu variabel. Bentuk umum dari
persamaan linier satu variabel adalah dengan a dan b bilangan real dan a ≠0.
Contoh-contoh permasalahan berikut dapat diselesaikan dengan persamaan
linier satu variabel:
Contoh
1.5
Selisih dua bilangan adalah 15. Jika 3 kali bilangan yang besar dikurangi 2
kali bilangan yang kecil maka hasilnya sama dengan 62. Tentukan jumlah kedua bilangan tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan bilangan yang
kecil adalah a.
Berarti bilangan yang besar adalah
a+15.
Diperoleh 3(a+15) – 2a = 62.
Û 3a + 45 - 2a = 62
Û a = 62 – 45
Û a = 17.
Jadi kedua bilangan
tersebut adalah 17 dan 32.
Jumlah kedua bilangan
tersebut adalah 17 + 32 = 49.
Contoh
1.6
Amir dan Budi membantu
ayah menanam sejumlah batang singkong di kebun. Amir baru menanam 12
batang, sedangkan Budi masih menyisakan 49 batang lagi. Ternyata batang singkong
yang telah ditanam Budi setengah dari banyaknya batang singkong yang belum
ditanam Amir. Berapa batang singkong yang harus ditanam Budi apabila mereka
harus menanam jumlah singkong yang sama banyak?
Contoh
1.7
Banyak anak perempuan
dalam sebuah keluarga 2 kurangnya dari banyak anak laki-laki. Apabila setiap
anak perempuan mempunyai saudara laki-laki sebanyak dari banyak saudara
perempuannya, berapakah banyak anak laki-laki dalam keluarga tersebut?
Contoh
1.8
Pada tahun ini, umur Andi 2 tahun lebih muda dari umur Kiki. Tahun depan,
umur Andi lima perenam umur Kiki. Berapakah
jumlah umur mereka sekarang?
Penyelesaian:
Misalkan umur Andi adalah a tahun.
Berarti umur Kiki adalah (a + 2) tahun.
Diperoleh a + 1 = (a+2+1)
Û a + 1 = a +
Û a =
Û a = 9.
Jadi pada saat ini umur Andi 9 tahun dan Kiki 11 tahun.
Jumlah umur keduanya adalah 20 tahun.
2. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Pertidaksamaan linier satu variabel adalah kalimat
terbuka dengan variabel berpangkat satu dan memiliki hubungan ketikdaksamaan. Tanda penghubung ketidaksamaan
adalah ≠ (tidak sama dengan), <
(kurang dari), > (lebih dari), ≤ (kurang dari atau sama dengan) dan ≥ (lebih
dari atau sama dengan).
Bentuk-bentuk
pertidaksamaan linier satu variabel antara lain , .
Berikut
ini beberapa contoh terkait dengan materi pertidaksamaan linier satu variabel.
Contoh 1.9
Kerangka
sebuah persegi panjang akan dibuat dari kawat dengan panjang sama dengan 5 cm
kurang dari dua kali lebarnya. Bila keseluruhan kawat yang diperlukan tidak
lebih dari 62 cm, berapakah lebar
persegipanjang yang dapat dibuat?
Penyelesaian:
Misalkan
lebar persegipanjang yang dapat dibuat adalah l cm.
Berarti
panjang dari persegipanjang tersebut adalah (2l – 5) cm.
Diperoleh 2(l + (2l – 5)) £ 62
Û 2l + 4l – 10 £ 62
Û 6l £ 72
Û l £ 12.
Jadi
lebar persegipanjang yang dapat dibuat kurang dari atau sama dengan 12 cm.
Contoh 1.10
Budi akan
mencari 2 bilangan asli berurutan yang memiliki jumlah lebih dari atau sama
dengan 15. Syarat yang lain, bilangan yang kecil harus kurang dari 10. Jika
bilangan tersebut adalah p, tentukan batas nilai p.
Contoh 1.11
Untuk
menjadi anggota pasukan pengibar bendera di suatu SMP, dipersyaratkan siswa mempunyai
tinggi badan lebih dari 155cm. Jika Andi mendaftar menjadi anggota pasukan
pengibar bendera tetapi ternyata tidak memenuhi syarat tinggi badan, apa yang
dapat disimpulkan dari tinggi badan Andi?
3. Perbandingan
Penerapan dari materi perbandingan antara lain
adalah pembuatan atau penafsiran gambar
berskala berupa peta, sket rumah, replika suatu benda dan sebagainya. Perbandingan
antara ukuran pada gambar dengan ukuran sesungguhnya dinamakan skala. Jadi,
skala dapat mempunyai makna panjang pada gambar dibanding panjang sesungguhnya,
lebar pada gambar dibanding lebar sesungguhnya atau tinggi pada gambar
dibanding dengan tinggi sesungguhnya.
Terdapat 2 macam perbandingan yaitu perbandingan senilai
(seharga) dan perbandingan berbalik nilai. Dua jenis data dikatakan mempunyai
perbandingan senilai apabila bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis
pertama berakibat bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis kedua.
Sebaliknya, dua jenis data dikatakan mempunyai perbandingan berbalik nilai
apabila bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis pertama berakibat
berkurangnya (atau bertambahnya) data jenis kedua.
Beberapa
contoh permasalahan terkait dengan materi perbandingan antara lain:
Contoh 1.12
Sebuah taman bunga mempunyai ukuran 100m x 80m. Taman tersebut tergambar pada suatu kertas dengan skala 1 : 750.
Tentukan luas pada
gambar!
Contoh 1.13
Sebuah
bangunan mempunyai ukuran panjang 25m, lebar
12m dan tinggi 10m. Bangunan tersebut dibuat maketnya dengan ukuran tinggi 25cm. Tentukan (a) skala maket tersebut,
(b) panjang dan lebar maket tersebut!
Bentuk perbandingan dapat dinyatakan
dengan notasi : (titik dua) atau tanda per . Bentuk dapat
dinyatakan sebagai . Untuk memudahkan perhitungan maka perbandingan
sebaiknya dibuat sedemikian rupa sehingga menjadi perbandingan yang paling sederhana.
Contoh 1.14
Pada gambar berikut, dari lingkaran
yang kecil dan dari lingkaran
yang besar diarsir. Tentukan perbandingan antara luas arsiran pada lingkaran
kecil dengan luas arsiran pada lingkaran besar.
Contoh 1.15
Jika Amir dan Budi bekerja bersama maka suatu pekerjaan
dapat diselesaikan selama 10 hari. Apabila Budi dan Cecep bekerja sama maka
pekerjaan tersebut dapat diselesaikan dalam 15 hari, sedangkan apabila
dikerjakan Amir dan Cecep maka pekerjaan akan selesai dalam 12 hari. Berapa
hari yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut apabila ketiganya
mengerjakan bersama-sama?
Penyelesaian:
Dalam satu hari;
Amir dan Budi dapat menyelesaikan pekerjaan,
Budi dan Cecep dapat menyelesaikan pekerjaan, dan
Amir dan Cecep dapat menyelesaikan pekerjaan.
Misalkan:
A menyatakan banyak pekerjaan yang dapat diselesaikan
Amir dalam satu hari,
B menyatakan banyak pekerjaan yang dapat diselesaikan
Budi dalam satu hari, dan
C menyatakan banyak pekerjaan yang dapat diselesaikan
Cecep dalam satu hari.
Diperoleh:
A + B =
B + C =
A + C =
Jadi (A + B) + (B + C) + (A + C) = + +
Û 2(A + B + C) =
Û A + B + C = .
Dengan demikian, apabila ketiga orang tersebut bekerja
bersama-sama maka dalam satu hari dapat menyelesaikan pekerjaan. Berarti
pekerjaan akan selesai dalam waktu 8 hari.
C.
Latihan
1.
Banyak anak perempuan dalam sebuah keluarga 1 lebihnya
dari banyak anak laki-laki. Setiap anak perempuan mempunyai saudara laki-laki
sebanyak jumlah saudara perempuannya. Berapakah banyak anak perempuan dalam
keluarga tersebut?
2.
Tiga orang pekerja mengecat rumah. Jika pekerjaan
tersebut dilakukan oleh Pak Bonar dan Pak Zuhdi, memerlukan waktu 6 jam. Jika
dikerjakan oleh Pak Zuhdi dan Pak Amin, memerlukan waktu 4 jam. Jika
dikerjakan oleh Pak Bonar dan Pak Amin,
memerlukan waktu 5 jam. Pilih satu jawaban dari pilihan berikut yang paling
mendekati waktu penyelesaian apabila ketiga orang tersebut bekerja
bersama-sama.
D.
Rangkuman
Berdasarkan peubah yang terdapat pada setiap suku dalam bentuk aljabar,
dapat dibedakan antara suku sejenis dan tidak sejenis. Dua suku bentuk aljabar
dikatakan sejenis apabila kedua suku tersebut (i) identik, atau (ii) hanya berbeda pada koefisiennya.
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan. Persamaan
yang mengandung satu peubah berpangkat 1 dinamakan persamaan linier satu
variabel. Bentuk umum dari persamaan linier satu variabel adalah dengan a dan b bilangan real dan a ≠0.
Perbandingan antara ukuran pada gambar dengan ukuran sesungguhnya dinamakan
skala. Terdapat 2 macam perbandingan yaitu perbandingan senilai (seharga) dan
perbandingan berbalik nilai. Dua jenis data dikatakan mempunyai perbandingan
senilai apabila bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis pertama berakibat
bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis kedua. Sebaliknya, dua jenis data
dikatakan mempunyai perbandingan berbalik nilai apabila bertambahnya (atau
berkurangnya) data jenis pertama berakibat berkurangnya (atau bertambahnya)
data jenis kedua.
- Tes Formatif 1
Jenis Soal Pilihan Ganda.
Petunjuk: Pilih jawaban yang benar!
1.
Bentuk sederhana dari adalah ... .
A. B.
C. D.
2.
Suatu persegipanjang mempunyai panjang 2 kali lebarnya, dan
kelilingnya adalah 96cm. Panjang dan lebar persegipanjang tersebut adalah ... .
A. 32cm dan 16cm B. 30cm dan 15cm
C. 28cm dan 14cm D. 26cm dan 13cm
3.
Umur ayah 10 tahun yang lalu 16 tahun lebih tua dari umur
paman. Jika umur ayah sekarang 57 tahun, maka umur paman 10 yang lalu adalah
... .
A. 31 tahun B.
41 tahun
C. 51 tahun D.
61 tahun
4.
Jika siswa yang tidak hadir perbulan sekurang-kurangnya 3
orang dan sebanyak-banyaknya 17 orang, maka rata-rata banyak siswa yang tidak
hadir perbulan adalah ... .
A. 7 orang B. 8 orang
C. 9 orang D. 10 orang
5.
Seseorang dapat mengetik 1.800 kata dalam waktu 2 jam.
Jika waktu yang tersedia hanya 1 jam 20 menit maka orang tersebut dapat
mengetik sebanyak ... .
A. 1.200 kata B. 1.300 kata
C. 1.400 kata D. 1.500 kata
6.
Uang sebanyak Rp75.000,00 dapat digunakan untuk membeli 6
meter kain. Jika uang yang tersedia sebanyak Rp187.500,00 maka panjang kain yang
dapat dibeli maksimum ... .
A. 10 meter B. 12 meter
C. 15 meter D. 18 meter
7.
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan selama 8 bulan oleh 50
orang pekerja. Jika pekerjaan yang sama ingin diselesaikan dalam waktu 5 bulan
maka banyak pekerja yang harus ditambahkan adalah ... .
A. 30 orang B. 40 orang
C. 60 orang D. 80 orang
8.
Jika rumah yang berukuran 9m X 18 m pada gambar menjadi
berukuran 7,5cm X 15cm maka skala gambar adalah ... .
A. 1 : 1,2 B. 1 : 12
C. 1 : 120 D. 1 : 1200
9.
Suatu jarak dapat ditempuh dalam waktu 1,5 jam oleh
kendaraan dengan kecepatan rata-rata 48km/jam. Jika ingin ditempuh dalam waktu
1 jam, maka kecepatan rata-rata kendaraan adalah ... .
A. 32km/jam B. 64km/jam
C. 72km/jam D. 86km/jam
10.
Harga 4 buah pulpen Rp6.000,00 dan harga 5 buah buku Rp12.000,00.
Perbandingan harga 1 buah pulpen dengan 1 buah buku adalah ... .
A. 1 : 2 B. 3 : 4
C. 4 : 7 D. 5 : 8
Jenis Soal Uraian.
Petunjuk: Kerjakan dengan lengkap dan benar!
1.
Badru mempunyai satu bundel tiket sepak bola untuk
dijual. Pada hari Minggu ia dapat menjual 10 lembar tiket kepada
keluarganya. Pada hari Senin ia dapat menjual setengah dari tiket yang tersisa.
Pada hari Selasa ia menjual 5 tiket kepada teman sekolahnya dan 2 tiket
terakhir kepada dua orang gurunya. Berapa lembar tiket yang ada dalam satu
bundel?
2.
Kadar garam dalam enam liter air laut adalah 4%. Setelah
air laut tersebut menguap sebanyak 1 liter, berapa persen kadar garam dalam air
tersebut?
3.
Untuk menempuh perjalanan dari kota A ke kota B, dengan
kecepatan rata-rata 60km/jam, seorang sopir bis biasanya memerlukan waktu
selama 6 jam 40 menit. Tentukan kecepatan rata-rata bis tersebut agar ia tiba
di kota B dalam waktu 1 jam 20 menit lebih awal dari biasanya.
BAB
III KEGIATAN BELAJAR 3
A. Kompetensi dan Indikator
1. Kompetensi
a.
Mampu menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam
pemecahan masalah
b.
Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan
garis lurus
c.
Memahami sistem persamaan linear dua variabel dan menggunakannya dalam pemecahan masalah
2. Indikator
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini,
Anda diharapkan dapat:
a.
Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta
penyajiannya
b.
Memahami konsep himpunan bagian
c.
Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference),
dan komplemen pada himpunan
d.
Menyajikan himpunan dengan diagram Venn
e.
Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah
f.
Melakukan operasi aljabar
g.
Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya
h.
Memahami relasi dan fungsi
i.
Menentukan nilai fungsi
j.
Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem
koordinat Cartesius
k.
Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus
l.
Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel
m.
Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dua variabel
n.
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya
B. Uraian Materi
1. Himpunan
Himpunan merupakan kumpulan dari benda (obyek) yang
didefinisikan dengan jelas. Kata ”jelas” diartikan bahwa syarat keanggotaan
dari suatu himpunan dapat ditentukan dengan jelas. Obyek dari suatu himpunan
dinamakan anggota (elemen) dari himpunan tersebut. Elemen dari suatu himpunan
dapat berupa bilangan, orang, binatang dan sebagainya.
Suatu himpunan biasanya disimbolkan dengan huruf besar.
Misalkan himpunan lima bilangan asli yang pertama dapat dituliskan A={1,2,3,4,5}.
Terdapat 3 cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu
dengan cara (1) menyebutkan syarat keanggotaan (dengan kata-kata), (2)
mendaftar anggota-anggotanya (tabulasi) dan (3) notasi pembentuk himpunan.
b. Menyatakan himpunan dengan menyebutkan syarat keanggotaan
(dengan kata-kata)
Untuk menyatakan himpunan A yang memuat 1,2,3,4,5 dengan cara menyebutkan
syarat keanggotaan adalah:
A adalah himpunan yang memuat 5 lima bilangan asli yang pertama, atau A
adalah himpunan bilangan asli kurang dari 6.
Dalam menyatakan himpunan dengan menyebutkan syarat keanggotaannya, tidak
digunakan simbol kurung kurawal.
c. Menyatakan himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya
Pada cara ini, semua atau sebagian anggotanya dituliskan dalam kurung
kurawal.
Contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {Minggu,
Selasa, Kamis}
C = {1,2,3, ... ,
100}
D = {1,3,5, ... }
d. Menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan
Pada cara ini, anggota-anggotanya tidak dituliskan. Notasi yang digunakan
adalah A = {...½...}. Sebagai
contoh, jika A = {1,2,3,4,5} maka dinotasikan dengan A = {x½x<6 asli="asli" bilangan="bilangan" span="span" x="x">6>
Berdasarkan banyak anggotanya, himpunan dapat dibedakan menjadi dua yaitu
himpunan berhingga dan tidak berhingga. Sebuah himpunan dikatakan berhingga
apabila himpunan tersebut terdiri atas sejumlah tertentu elemen-elemen berbeda.
Artinya, apabila kita menghitung elemen-elemen yang berbeda dari himpunan
tersebut, maka proses penghitungannya dapat berakhir. Bila tidak demikian, maka
himpunan tersebut dikatakan tak berhingga.
Contoh 2.1
Misalkan A adalah himpunan dari hari-hari dalam satu minggu, B =
{2,4,6,...} dan C = {xçx adalah
sungai di bumi}.
A dan C merupakan himpunan berhingga sedangkan B merupakan himpunan tak
berhingga. Meskipun pada prakteknya, sulit untuk menghitung semua sungai di
bumi, tetapi jumlahnya berhingga.
Dua buah himpunan dikatakan sama apabila keduanya mempunyai elemen-elemen
yang sama. Dengan demikian, A = B jika semua elemen di A merupakan
elemen di B dan juga semua elemen di B merupakan elemen di A.
Contoh 2.2
A = {1,2,3,4} dan B adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 5
merupakan himpunan yang sama. Demikian pula C = {xçx2=100} dan D = {-10, 10} merupakan himpunan
yang sama. Himpunan E = {1,2,3} dan F = {1,2,1,2,3,2} juga merupakan himpunan
yang sama.
Himpunan yang tidak mempunyai elemen dinamakan himpunan kosong dan
disimbolkan dengan { } atau Æ. Sebagai
contoh P ={x çx2 =
4, x bilangan ganjil} merupakan himpunan kosong. Himpunan kosong merupakan
himpunan bagian dari setiap himpunan. Pernyataan tersebut bernilai benar
berdasarkan kebenaran implikasi pada logika matematika. Implikasi p Þ q akan selalu bernilai benar apabila pernyataan p
bernilai salah. Implikasi ”Jika xÎÆ maka xÎA” akan
selalu bernilai benar karena pernyataan ”xÎÆ” bernilai salah. Æ tidak
pernah mempunyai anggota sehingga pernyataan “xÎÆ” selalu
bernilai salah.
2. Operasi-Operasi pada Himpunan
Operasi-operasi yang berlaku pada himpunan antara lain gabungan
(perpaduan), irisan (perpotongan), komplemen dan selisih.
a. Gabungan
Gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang memuat semua
elemen yang termasuk dalam A atau B. Operasi gabungan disimbolkan dengan È. Jadi AÈB = {x çxÎA atau xÎB}. Dalam bentuk digram Venn digambarkan sebagai daerah
yang diarsir berikut ini.
Contoh 2.3
Jika A adalah himpunan semua bilangan asli kelipatan 2 dan B adalah
himpunan semua bilangan asli kelipatan 3 maka AÈB = {2,3,4,6,8,9,10, ...}
b. Irisan
Irisan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang memuat semua
elemen yang termasuk dalam A dan sekaligus masuk dalam B. Operasi irisan
disimbolkan dengan Ç. Jadi AÇB = {x ç xÎA dan xÎB}. Dalam
bentuk digram Venn digambarkan sebagai daerah yang diarsir berikut ini.
Contoh 2.4
Jika A adalah himpunan semua bilangan asli kelipatan 2 dan B adalah
himpunan semua bilangan asli kelipatan 3 maka AÇB = {6,12,18, ...}
c. Komplemen
Jika A suatu
himpunan, maka komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang memuat
elemen-elemen dalam himpunan semesta (S) tetapi tidak termasuk dalam A. Komplemen dari A disimbolkan dengan A’.
Jadi A’ = {x çxÎS, xÏA}.
Contoh 2.5
Jika A adalah himpunan semua bilangan rasional dan S adalah himpunan semua
bilangan real maka A’ adalah himpunan semua bilangan irasional. Berdasarkan
contoh tersebut dapat dikatakan bahwa bilangan real adalah gabungan dari
bilangan rasional dan bilangan irasional.
e. Selisih
Selisih dari himpunan A dan B (disimbolkan dengan A – B atau A/B) adalah
himpunan yang memuat elemen-elemen di A tetapi tidak termasuk dalam himpunan B.
Diagram Venn berikut ini menggambarkan himpunan A - B.
Contoh 2.6
Jika A adalah himpunan semua bilangan bulat dan B adalah himpunan semua
bilangan bulat negatif maka A – B adalah himpunan semua bilangan cacah,
sedangkan B – A adalah himpunan kosong (Æ).
3. Prinsip Inklusi dan Eksklusi pada Himpunan
Misalkan A dan B sembarang
himpunan. Penjumlahan n(A)+n(B) berarti
menghitung banyaknya elemen A yang tidak terdapat dalam B dan banyaknya
elemen B yang tidak terdapat dalam A tepat satu kali, dan banyaknya elemen yang
terdapat dalam A ∩ B sebanyak dua kali. Oleh karena itu, pengurangan banyaknya
elemen yang terdapat dalam A∩B dari n(A)+n(B) membuat banyaknya anggota A ∩ B
dihitung tepat satu kali. Dengan demikian, n(A∪B)= n(A)+n(B) – n(A∩B).
Generalisasi dari hal tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan dinamakan
prinsip inklusi-eksklusi. Prinsip inklusi dan eksklusi untuk 3 buah himpunan
adalah n(AÈBÈC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AÇB) – n(AÇC) – n(BÇC) + n (AÇBÇC). Pola yang sama untuk lebih dari 3 himpunan.
Contoh 2.7
Dalam sebuah
kelas terdapat 25 siswa yang menyukai matematika, 13 siswa menyukai IPA dan 8 orang diantaranya menyukai
matematika dan IPA. Berapa siswa terdapat dalam kelas
tersebut?
Penyelesaian:
Misalkan A
himpunan siswa yang menyukai matematika
dan B himpunan siswa yang menyukai
IPA. Himpunan siswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat
dinyatakan sebagai himpunan A ∩ B. Banyaknya siswa yang menyukai salah satu
dari kedua mata kuliah tersebut atau keduanya dinyatakan dengan n(A∪B). Dengan demikian n(A∪B) = n(A)+n(B) –
n(A∩B) = 25 + 13 – 8 = 30. Jadi, terdapat 30 orang siswa dalam kelas tersebut.
Contoh 2.8
Berapa banyak
bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 7 atau
11 ?
Penyelesaian:
Misalkan P
himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan Q
himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 11.
Dengan demikian P ∪ Q adalah
himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau
habis dibagi 11, dan P ∩ Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000
yang habis dibagi 7 dan habis dibagi 11.
n(P) = bagian bulat dari (1000:7) 142
n(Q) = bagian
bulat dari (1000 : 11) = 90
n(P∩Q) = bagian
bulat dari (1000 : KPK[7,11]) = 12
n(P∪Q) =
n(P)+n(Q) – n(P∩Q) = 142 + 90 – 12 = 220.
Jadi terdapat 220
bilangan bulat positif tidak melampui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis
dibagi 11.
Contoh 2.9
Dari pendataan
terhadap makanan kesukaan di suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa, diperoleh
15 siswa gemar bakso, 17 siswa gemar soto dan 18 siswa gemar nasi goreng. Siswa
yang menggemari bakso sekaligus soto sebanyak 6 siswa, yang menggemari soto
sekaligus nasi goreng sebanyak 4 siswa dan menggemari bakso sekaligus nasi
goreng sebanyak 5 siswa. Jika terdapat 3
siswa yang tidak menggemari satupun dari ketiga makanan tersebut:
a.
berapakah banyak siswa yang menggemari ketiga-ketiganya?
b.
berapakah banyak siswa yang hanya menggemari nasi goreng?
Penyelesaian:
a. Misalkan: B
adalah himpunan penggemar bakso,
S adalah himpunan
penggemar soto, dan
N adalah himpunan
penggemar nasi goreng.
Diperoleh
n(B) = 15, n(S) = 17, n(N) = 18, n(BÇS) = 6,
n(SÇN) = 4 dan n(BÇN) = 5.
Karena terdapat 3 siswa yang tidak menggemari ketiganya,
maka n(BÈSÈN) = 40 – 3 = 37.
Berdasarkan prinsip inklusi dan eksklusi diperoleh:
n(BÈSÈN) = n(B)
+ n(S) + n(N) - n(BÇS) - n(SÇN) - n(BÇN)+ n(BÇSÇN)
Û 37 = 15
+ 17 + 18 – 6 – 4 – 5 + n(BÇSÇN)
Û n(BÇSÇN) = 2
Jadi terdapat 2 siswa yang menggemari ketiga makanan
sekaligus.
b. Untuk menjawab
soal b, digunakan diagram Venn berikut, dengan pengisian pertama dimulai pada
(BÇSÇN).
Berdasarkan diagram Venn di atas, banyak siswa yang hanya
menggemari nasi goreng adalah 11 orang.
3. Relasi dan Fungsi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang
memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.Relasi
antara 2 himpunan dapat dinyatakan dengan (a) diagram panah, (b) diagram
Cartesius dan (c) himpunan pasangan berurutan. Misalkan terdapat dua himpunan
yaitu A={Amir, Budi, Cecep} dan B={bakso, sate}. Misalkan relasi “gemar makan”
antara A dan B dapat digambarkan ke dalam diagram panah berikut:
Dalam
diagram Cartesius relasi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
Dalam himpunan pasangan berurutan, relasi tersebut dapat
dinyatakansebagai (Amir,bakso),(Budi,bakso),(Budi,sate),(Cecep,sate)} Fungsi
(pemetaan) dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Apabila terdapat
suatu pemetaan dari A ke B maka A dinamakan daerah asal (domain) dan B
dinamakan daerah kawan (kodomain). Terdapat 2 kata kunci dalam mendefinisikan
fungsi yaitu “setiap” dan “tepat satu”. Kata “setiap” mempunyai makna bahwa
semua anggota domain harus mempunyai pasangan. Kata “tepat satu” mempunyai
makna bahwa pasangan dari setiap anggota domain hanyalah satu. Secara
kontekstual, pemetaan dapat diidentikkan dengan sistem kerja senapan yang baik.
Senapan yang baik diartikan sebagai “tidak ada peluru yang macet” dan “tidak
ada peluru yang pecah”. Relasi “gemar makan” pada contoh di atas bukan
merupakan fungsi karena terdapat elemen di domain yaitu Budi yang dipasangkan
dengan lebih dari satu elemen yaitu bakso dan sate.
Suatu fungsi
yang dinyatakan dengan aturan tertentu umumnya diberi nama dengan menggunakan
huruf kecil misalnya f,g,h dan
huruf-huruf lainnya. Misalkan fungsi dibaca “fungsi f memetakan ke dan dapat
dinyatakan dalam rumus fungsi yaitu
Beberapa contoh soal terkait dengan materi relasi dan
fungsi.
Contoh 2.10
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus . Diketahui dan . Tentukan (a). nilai p
dan q, (b). bentuk fungsinya, dan
(c).
Contoh 2.11
Tulislah
rumus fungsi yang mungkin untuk himpunan pasangan berurutan
{(1,0),(2,2),(3,6),(4,12),(5,20),…}. Jika anggota domainnya 15, berapakah
petanya?
Contoh 2.12
Seorang
pedagang menetapkan potongan harga untuk pembelian kemeja merek tertentu dengan
harga perbuah Rp80.000,00 dengan ketentuan sebagai berikut:
Banyak
Pembelian
|
Banyak
potongan (Rp)
|
1
|
0
|
2
|
15.000
|
3
|
20.000
|
4
|
25.000
|
5
|
30.000
|
.
.
.
|
.
.
.
|
(a). Tentukan rumus fungsi yang menyatakan jumah
uang yang harus dibayarkan bila x
menyatakan banyak kemeja yang dibeli.
(b). Tentukan uang yang harus dibayarkan oleh
konsumen yang membeli 10 kemeja.
4. Sistem Persamaan Linier Dua
Variabel
Bentuk
umum persamaan linier dua variabel adalah dengan a,b,c bilangan real dengan a dan b keduanya tidak sama dengan nol. Permasalaan yang
menyangkut satu atau lebih persamaan linier dua variabel dinamakan sistem
persamaan linier dua variabel. Pasangan dinamakan anggota
himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel apabila nilai x dan y secara bersama-sama memenuhi semua persamaan yang terdapat dalam
sistem tersebut. Berdasarkan keberadaan penyelesaiannya, sistem persamaan
linier dapat dibedakan menjadi 3 macam:
c.
tidak mempunyai penyelesaian,
d.
tepat mempunyai satu penyelesaian, dan
e.
mempunyai tak terhingga penyelesaian
Menentukan
penyelesaian sistem persamaan liner 2 variabel dapat dilakukan dengan beberapa
cara antara lain (a). metode grafik, (b). metode substitusi, (c). metode
eliminasi, (d) gabungan metode eliminasi dan substitusi, (e) eliminasi Gauss,
(f) eliminasi Gauss-Jordan dan (g) Atruran Cramer. Untuk pembelajaran tingkat
SMP, hanyalah metode (a) sampai dengan (d) saja yang diajarkan.
(a). Metode Grafik
Misalkan diketahui sistem persamaan linier:
x + y = 4
2x – y = 2
Dengan menggambarkan sistem tersebut pada koordinat
Cartesius diperoleh hasil sebagai berikut:
Penyelesaian dari sistem tersebut adalah titik potong kedua garis yaitu
(2,2). Jadi x=2 dan y=2.
(b). Metode
Substitusi
Misalkan diketahui
sistem persamaan linier:
3x + y = 7
2x
–3y = 1
Namakan persamaan
(1). 3x + y = 7
(2). 2x –3y = 1
Berdasarkan persamaan (1) diperoleh 3x
+ y = 7 Û y=7-3x. Dengan mensubstitusikan
y=7-3x ke dalam persamaan(2) diperoleh
2x –3y
= 1 Û 2x-3(7-3x)=1
Û 2x-21+9x=1
Û 11x=22
Û x=2
Dengan mensubstitusikan x=2 ke persamaan y=7-3x diperoleh y=7-3.2=1.
Jadi penyelesaian dari sistem tersubut adalah x=2 dan y=1.
(c). Metode
Eliminasi
Misalkan diketahui sistem persamaan linier:
x -2y = 5
2x +y = 5
Namakan persamaan
(1). x -2y = 5
(2).
2x +y = 5
Dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 1,
diperoleh:
x
-2y = 5 x
2 2x-4y=10
2x +y = 5 x
1 2x+y=5
-5y=5
y=-1
Dengan mengalikan persamaan (1) dengan 1 dan persamaan (2) dengan 2,
diperoleh:
x
-2y = 5 x
1 x
- 2y =5
2x +y = 5 x
2 4x+2y=10
5x = 15
x= 3.
Diperoleh
penyelesaian dari sistem tersubut adalah x=3
dan y=-1.
(d). Gabungan
Metode Eliminasi dan Substitusi
Misalkan diketahui sistem persamaan linier:
4x -3y = -1
3x +y = 9
Namakan persamaan
(1). 4x -3y
= -1
(2). 3x +y = 9
Dengan mengalikan persamaan (1) dengan 1 dan persamaan
(2) dengan 3, diperoleh:
4x
-3y = -1 x 1 4x-3y=-1
3x +y = 9 x
3 9x+3y=27
13x=26
x=2
Dengan mensubstitusikan x=2 ke persamaan (1) diperoleh:
4x
-3y = -1 Û 4.2-3y=-1
Û 8-3y=-1
Û -3y=-9
Û y=3
Diperoleh penyelesaian dari sistem
tersebut adalah x=2 dan y=3.
Contoh 20 dan 21 berikut ini perlu dikaji dalam kegiatan
pembelajaran di kelas untuk lebih memantapkan pemahaman siswa terkait dengan
makna dari himpunan penyelesaian.
Contoh 2.13
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linier:
2x – y = 1
-4x + 2y = 6
Penyelesaian:
Dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan
(2) dengan 1, diperoleh:
2x
- y = 1 x
2 4x
- 2y = 2
-4x +2y= 6
x 1 -4x+2y=12
0.x+0.y = 14
Jelas bahwa tidak terdapat
x dan y yang memenuhi 0.x+0.y = 14. Jadi himpunan peanyelesaian dari
sistem persamaan linier tersebut adalah himpunan kosong.
Contoh 2.14
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linier:
x – 2y = 5
-2x + 4y = -10
Contoh 2.15
Tecatat 480 orang hadir dalam suatu pertunjukkan dengan
tiket masuk Rp14.000,00 untuk tempat duduk di depan dan Rp26.000,00 untuk
tempat duduk belakang. Hasil penjualan tiket masuk pertunjukkan tersebut adalah
Rp8.310.000,00. Berapa banyak tempat duduk depan dan belakang yang ditempati?
Contoh 2.16
Lima
buku dan dua pensil dijual seharga Rp24.000,00. Tiap buku harganya lebih mahal
Rp2.000,00 dari harga pensil. Tentukan harga sebuah buku!
C. Latihan
1. Untuk keperluan suatu pesta, seseorang
membeli jeruk dan apel yang sama banyak. Setiap 3 buah jeruk dijual seharga
Rp2.000,00 dan setiap 4 buah apel dijual seharga Rp3.000,00. Untuk keperluan
tersebut dia membayar pembelian apel Rp5.000,00 lebih banyak dari pada pembelian jeruk. Tentukan berapa harga
pembelian keseluruhan.
2. Umur sang ayah saat ini 24 tahun lebih tua
dari pada anaknya. Dua tahun yang lalu, umur sang ayah 4 kali lebih tua dari
anaknya. Berapa umur anak 5 tahun yang akan datang?
D. Rangkuman
Himpunan merupakan
kumpulan dari benda (obyek) yang didefinisikan dengan jelas. Kata ”jelas”
diartikan bahwa syarat keanggotaan dari suatu himpunan dapat ditentukan dengan
jelas. Obyek dari suatu himpunan dinamakan anggota (elemen) dari himpunan
tersebut. Elemen dari suatu himpunan dapat berupa bilangan, orang, binatang dan
sebagainya.
Berdasarkan prinsip
inklusi dan eksklusi, berlaku n(A∪B)= n(A)+n(B) – n(A∩B). Prinsip inklusi dan eksklusi
untuk 3 buah himpunan adalah n(AÈBÈC) = n(A)
+ n(B) + n(C) – n(AÇB) – n(AÇC) – n(BÇC) + n (AÇBÇC). Pola
yang sama berlaku untuk lebih dari 3
himpunan.
Relasi dari himpunan A ke
himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan
anggota-anggota himpunan B. Relasi antara 2 himpunan dapat dinyatakan dengan
(a) diagram panah, (b) diagram Cartesius dan (c) himpunan pasangan berurutan.
Bentuk umum persamaan
linier dua variabel adalah dengan a,b,c bilangan real dan
a, b
keduanya tidak sama
dengan nol. Permasalahan yang menyangkut satu atau lebih persamaan
linier dua variabel dinamakan sistem persamaan linier dua variabel. Pasangan dinamakan anggota
himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel apabila nilai x dan y secara bersama-sama memenuhi semua persamaan yang terdapat dalam
sistem tersebut.
E.
Tes Formatif 2
Jenis Soal Pilihan Ganda.
Petunjuk: Pilih jawaban yang benar!
1.
Suatu pemilihan umum diikuti oleh 3 partai yaitu parta P,
partai Q dan partai R. Jumlah pemilih yang terdaftar adalah 60.000 orang. Jika
40 orang tidak menggunakan hak pilihnya dan dari pemilih yang menggunakan
haknya ternyata 30% memilih partai P, 45% memilih partai Q dan sisanya memilih
partai R maka banyak pemilih partai R adalah ... .
A. 14.990 orang B. 15.990 orang
C. 14.988 orang D. 15.988 orang
2.
Dalam suatu kelas diketahui 20 orang gemar PPKn, 29 orang
gemar Bahasa Indonesia, 9 orang gemar keduanya dan 4 orang tidak gemar kedua
pelajaran tersebut. Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah ... .
A. 40 orang B. 42 orang
C. 44 orang D. 46 orang
3.
Relasi dua himpunan di bawah ini yang bukan merupakan
fungsi adalah ... .
A. Himpunan siswa dengan nomor
absennya di kelas
B. Himpunan negara-negara dengan
himpunan benderanya
C. Himpunan negara-negara dengan
himpunan lagu kebangsaannya
D. Himpunan siswa dengan hobinya
4.
Suatu fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = ax + b.
Jika f(3) = 3 dan f(-2) = -7 maka nilai dari f(10) adalah ... .
A. 16 B. 17
C. 18 D. 19
5.
Sisa beras yang disimpan dalam suatu gudang tercatat
seberat 6.650 kg. Beras tersebut dikemas dalam 2 macam kantong berukuran 10kg
dan 20kg. Jika jumlah keselurahan kantong adalah 440, tentukan banyak kantong
yang berukuran 20kg!
A. 210 B. 220
C. 225 D. 230
6.
Lima buku dan dua pensil dijual seharga Rp24.000,00. Tiap
buku harganya lebih mahal Rp2.000,00 dari harga pensil. Tentukan harga sebuah
buku!
A. Rp4.000,00 B. Rp4.500,00
C. Rp5.000,00 D. Rp5.500,00
7.
Suatu pertandingan tenis dihadiri oleh 620 orang. Harga
karcis perlembar untuk tempat duduk depan adalah Rp 50.000,00 dan untuk tempat
duduk di belakang adalah Rp 35.000,00. Hasil penjualan karcis pada pertandingan
tersebut sebesar Rp. 25.750.000,00. Berapa tiket untuk tempat duduk depan dan
belakang yang terjual?
A. 250 dan 370 B. 370 dan 250
C. 270 dan 350 D. 350 dan 270
8.
Syamsudin mempunyai 30 keping uang logam terdiri dari
Rp200,00 dan Rp500,00. Jika keseluruhan uang Syamsudin adalah Rp10.200,00 maka
banyaknya uang logam Rp200,00 dan Rp500,00 berturut-turut adalah…
.
A. 16 dan 14 B. 17 dan 13
C. 18 dan 12 D. 19 dan 11
9.
Suatu sistem persamaan linier dua variabel dengan 2 buah
persamaan tidak mempunyai penyelesaian apabila keduanya merupakan garis lurus
yang ... .
A. berpotongan B. sejajar, tidak
berimpit
C. berimpit D. berpotongan tegak lurus
10.
Dari 30 siswa yang mengikuti tes, diketahui 20 siswa
lulus matematika, 22 siswa lulus IPA dan 25 siswa lulus IPS. Berapa kemungkinan
paling banyak, siswa yang lulus ketiga mata pelajaran tersebut?
A. 25 siswa B. 24 siswa
C. 22 siswa D. 20 siswa
Jenis Soal Uraian.
Petunjuk: Kerjakan dengan lengkap
dan benar!
1.
Pembilang dan penyebut suatu pecahan mempunyai
perbandingan 2:3. Apabila 4 kali pembilang ditambah dengan 2 kali penyebut
menghasilkan 112, tentukan pecahan tersebut!
2.
Berapa banyak elemen yang terdapat dalam gabungan dari
lima himpunan jika setiap himpunan memiliki 10000 anggota, setiap pasang elemen
memiliki 1000 elemen bersama, setiap pasangan tiga himpunan memiliki 100 elemen
bersama, setiap empat himpunan memiliki 10 elemen bersama dan terdapat satu
elemen bersama dari ke lima himpunan ?
3.
Berapa
banyak elemen yang terdapat dalam himpunan A1ÈA2ÈA3
jika terdapat 100 elemen dalam A1, 1000 elemen dalam A2
dan 10000 elemen dalam A3, dan jika:
(a). A1ÌA2 dan
A2ÌA3
(b). Terdapat dua elemen bersama pada setiap pasang
himpunan dan satu elemen bersama dari setiap pasangan tiga himpunan.
Kunci
Jawaban Tes Formatif 1
Soal Pilihan Ganda:
- B
- A
- A
- D
- A
- C
- D
- C
- C
- D
Soal Uraian:
1. Misalkan n menyatakan banyaknya tiket dalam
satu bundel.
Diperoleh (n – 10) - (n – 10) – 5 – 2 = 0
Û (n – 10) = 7
Û n – 10 = 14
Û n = 28
Jadi banyak tiket dalam 1 bundel adalah 28 lembar.
2.
Kadar garam setelah air menguap sebanyak 1 liter adalah .
3.
Misalkan
Diperoleh
Û
Û
Û
Jadi kecepatan rata-rata bis agar tiba di B dalam waktu 1
jam 20 menit lebih awal adal 75km/jam.
Kunci
Jawaban Tes Formatif 2
Soal Pilihan Ganda:
- A
- C
- D
- B
- C
- A
- D
- A
- B
- D
Soal
Uraian:
- Misalkan bilangan pembilang adalah a dan penyebut adalah b.
Diperoleh:
(1) a : b = 2 : 3
(2) 4a + 2 b = 112
3a – 2b = 0
4a + 2b = 112
7a = 112
a = 16
3.16 – 2b = 0
2b = 48
b = 24
Jadi pecahan tersebut adalah .
2.
n(AÈBÈCÈDÈE) = 5.n(A) – 10.n(AÇB) + 10.n(AÇBÇC) – 5.n(AÇBÇCÇD) + n(AÇBÇCÇDÇE)
= 5X10000 –
10X1000 + 10X100 – 5X10 + 1
= 50.000 – 10.000
+ 1.000 – 50 + 1
= 40.951
3.
n(A1) = 100
n(A2)
= 1000
n(A3)
= 10000
(a). n(A1ÇA2)
= n(A1) = 100
n(A1ÇA3) = n(A1) = 100
n(A2ÇA3) = n(A2) = 1000
n(A1ÇA2ÇA3)
= n(A1) = 100
Jadi n(A1ÈA2ÈA3)
= 100 + 1000 + 10000 – 100 - 100 – 1000 + 100
= 10000
Hasil
penghitungan dengan prinsip inklusi dan eksklusi ini sama dengan hasil apabila
kita hanya memperhatikan A1ÌA2 dan
A2ÌA3
sehingga n(A1ÈA2ÈA3) = n(A3) = 10000.
(b). n(A1ÇA2) = 2
n(A1ÇA3) = 2
n(A2ÇA3) = 2
n(A1ÇA2ÇA3)
= 1
Jadi n(A1ÈA2ÈA3)
= 100 + 1000 + 10000 – 2 - 2 – 2 + 1= 11095.
GLOSARIUM
Diagram
Venn
|
Diagram
yang menunjukkan hubungan antar himpunan.
|
Eliminasi
|
Suatu
cara penyelesaian sistem persamaan linier dengan cara menghilangkan variabel yang
sedang tidak dicari
|
Himpunan
|
Sekumpulan
objek yang terdefinisikan dengan jelas syarat keanggotaannya
|
Persamaan
|
Kalimat
terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan
|
Prinsip
inklusi dan eksklusi
|
Formula
hubungan antara banyak elemen suatu himpunan, gabungan dan irisannya
|
Substitusi
|
Suatu
cara penyelesaian sistem persamaan linier dengan cara menggantikan suatu
variabel agar variabel yang muncul menjadi sejenis
|
Variabel
|
Suatu
entitas (objek) yang dapat diubah
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar