Kamis, 09 Agustus 2012





   
BAB I  PENDAHULUAN

A.  Deskripsi
Buku ajar ini mengkaji materi aljabar yang diajarkan di SMP. Materi yang dikaji meliputi (1) bentuk aljabar, (2) persamaan, (3) pertidaksamaan linear satu variabel, (4) perbandingan, (5) relasi dan fungsi, (6) sistem persamaan linear dua variabel.
B.  Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari buku ajar ini adalah pemahaman materi pembelajaran matematika di Sekolah Menengah Pertama.
C.  Petunjuk Belajar
Langkah-langkah dalam mempelajari buku ajar ini:
1.    Pelajari materi sesuai urutan yang disajikan dalam buku ini.
2.    Pelajari buku-buku yang relevan dengan materi buku ajar ini antara lain buku-buku pelajaran matematika SMP.
3.    Diskusikan materi yang ada dalam buku ajar ini dengan teman sejawat/peserta pelatihan.
4.    Kerjakan soal-soal yang ada dalam buku ajar ini.
D.  Kompetensi dan Indikator
Kompetensi yang diharapkan setelah mempelajari bahan ajar ini adalah:
1.    Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel.
2.    dapat menggunakan bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, dan perbandingan dalam pemecahan masalah.
3.    Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah
4.    Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus
5.    Memahami sistem persa-maan linear dua variabel  dan menggunakannya dalam pemecahan masalah
Setelah mempelajari bahan ajar ini Anda diharapkan dapat:
1.    Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya 
2.    Melakukan operasi pada bentuk aljabar
3.    Menyelesaikan persamaan linear satu variabel
4.    Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel
5.    Membuat model matematika dari masalah  yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
6.    enyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
7.    Menggunakan perbandingan untuk pemecahan masalah
8.    Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya
9.    Memahami konsep himpunan bagian
10. Melakukan operasi irisan, gabungan, selisih (difference), dan komplemen pada himpunan
11. Menyajikan himpunan dengan diagram Venn
12. Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah
13. Melakukan operasi aljabar
14. Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya
15. Memahami relasi dan fungsi
16. Menentukan nilai fungsi
17. Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat Cartesius
18. Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus
19. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel
20. Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel
21. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya

BAB II  KEGIATAN BELAJAR 2

A.  Kompetensi dan Indikator
1. Kompetensi
a.   Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel.
b.   dapat menggunakan bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, dan perbandingan dalam pemecahan masalah.
2. Indikator
Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini,  Anda diharapkan dapat:
a.    Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya 
b.    Melakukan operasi pada bentuk aljabar
c.     Menyelesaikan persamaan linear satu variabel
d.    Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel
e.    Membuat model matematika dari masalah  yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
f.      Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
g.    Menggunakan perbandingan untuk pemecahan masalah

B.  Uraian Materi
1. Bentuk Aljabar
Bentuk , , disebut sebagai bentuk aljabar. Dalam bentuk aljabar terdapat istilah koefisien, peubah (variabel) dan konstanta. Dalam bentuk aljabar , diperoleh koefisien suku pertama adalah 6, koefisien suku kedua adalah 1, peubahnya adalah x dan y, dan 3 dinamakan konstanta. Berdasarkan peubah yang terdapat pada setiap suku dalam bentuk aljabar, dapat dibedakan antara suku sejenis dan tidak sejenis. Dua suku bentuk aljabar dikatakan sejenis apabila kedua suku tersebut (i) identik, atau (ii) hanya berbeda pada koefisiennya.

Contoh 1.1
Suku  sejenis dengan suku  karena memenuhi (i)
Suku  sejenis dengan suku  karena memenuhi (ii)

Contoh 1.2
Suku  dan  tidak sejenis karena tidak memenuhi (i) dan (ii)
Suku  dan  tidak sejenis karena tidak memenuhi (i) dan (ii)

Penyederhanaan penjumlahan dan pengurangan bentuk bentuk aljabar hanya dapat dilakukan untuk suku sejenis.

Contoh 1.3
2xy + 3xy dapat disederhanakan menjadi 5xy.
3x2 + 2y2 tidak dapat disederhanakan.

Syarat suku sejenis tidak berlaku untuk operasi perkalian dan pembagian. Dalam perkalian dan pembagian bentuk aljabar, koefisien dioperasikan dengan koefisien dan peubah dioperasikan dengan peubah. Sifat-sifat yang berlaku antara lain:
(1).   
(2).   
(3).   

Contoh 1.4
Sederhanakan operasi bentuk aljabar .
Penyelesaian:
  
.
 2.  Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan. Persamaan yang mengandung satu peubah berpangkat 1 dinamakan persamaan linier satu variabel. Bentuk umum dari persamaan linier satu variabel adalah  dengan a dan b bilangan real dan  a ≠0.
Contoh-contoh permasalahan berikut dapat diselesaikan dengan persamaan linier satu variabel:

Contoh 1.5
Selisih dua bilangan adalah 15. Jika 3 kali bilangan yang besar dikurangi 2 kali bilangan yang kecil maka hasilnya sama dengan 62.  Tentukan jumlah kedua bilangan tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan bilangan yang kecil adalah a.
Berarti bilangan yang besar  adalah a+15.
Diperoleh  3(a+15) – 2a = 62.
Û 3a + 45 - 2a = 62
Û a = 62 – 45
Û a = 17.
Jadi kedua bilangan tersebut adalah 17 dan 32.
Jumlah kedua bilangan tersebut adalah 17 + 32 = 49.

Contoh 1.6
Amir dan Budi membantu ayah menanam sejumlah batang singkong di kebun. Amir baru menanam 12 batang, sedangkan Budi masih menyisakan 49 batang lagi. Ternyata batang singkong yang telah ditanam Budi setengah dari banyaknya batang singkong yang belum ditanam Amir. Berapa batang singkong yang harus ditanam Budi apabila mereka harus menanam jumlah singkong yang sama banyak?

Contoh 1.7
Banyak anak perempuan dalam sebuah keluarga 2 kurangnya dari banyak anak laki-laki. Apabila setiap anak perempuan mempunyai saudara laki-laki sebanyak  dari banyak saudara perempuannya, berapakah banyak anak laki-laki dalam keluarga tersebut?

Contoh 1.8
Pada tahun ini, umur Andi 2 tahun lebih muda dari umur Kiki. Tahun depan, umur Andi lima perenam umur Kiki. Berapakah jumlah umur mereka sekarang?
Penyelesaian:
Misalkan umur Andi adalah a tahun.
Berarti umur Kiki adalah (a + 2) tahun.
Diperoleh  a + 1 = (a+2+1)
Û a + 1 = a +
Û a =
Û a = 9.
Jadi pada saat ini umur Andi 9 tahun dan Kiki 11 tahun.
Jumlah umur keduanya adalah 20 tahun.

2.   Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Pertidaksamaan linier satu variabel adalah kalimat terbuka dengan variabel berpangkat satu dan memiliki hubungan ketikdaksamaan. Tanda penghubung ketidaksamaan adalah  ≠ (tidak sama dengan), < (kurang dari), > (lebih dari), ≤ (kurang dari atau sama dengan) dan ≥ (lebih dari atau sama dengan).
Bentuk-bentuk pertidaksamaan linier satu variabel antara lain , .
Berikut ini beberapa contoh terkait dengan materi pertidaksamaan linier satu variabel.

Contoh 1.9
Kerangka sebuah persegi panjang akan dibuat dari kawat dengan panjang sama dengan 5 cm kurang dari dua kali lebarnya. Bila keseluruhan kawat yang diperlukan tidak lebih dari 62 cm, berapakah  lebar persegipanjang yang dapat dibuat?
Penyelesaian:
Misalkan lebar persegipanjang yang dapat dibuat adalah l cm.
Berarti panjang dari persegipanjang tersebut adalah (2l – 5) cm.
Diperoleh 2(l + (2l – 5)) £ 62
                  Û 2l + 4l – 10 £ 62
                  Û 6l £ 72
                  Û l £ 12.
Jadi lebar persegipanjang yang dapat dibuat kurang dari atau sama dengan 12 cm.

Contoh 1.10
Budi akan mencari 2 bilangan asli berurutan yang memiliki jumlah lebih dari atau sama dengan 15. Syarat yang lain, bilangan yang kecil harus kurang dari 10. Jika bilangan tersebut adalah p, tentukan batas nilai p.

Contoh 1.11
Untuk menjadi anggota pasukan pengibar bendera di suatu SMP, dipersyaratkan siswa mempunyai tinggi badan lebih dari 155cm. Jika Andi mendaftar menjadi anggota pasukan pengibar bendera tetapi ternyata tidak memenuhi syarat tinggi badan, apa yang dapat disimpulkan dari tinggi badan Andi?

3.   Perbandingan
 Penerapan dari materi perbandingan antara lain adalah  pembuatan atau penafsiran gambar berskala berupa peta, sket rumah, replika suatu benda dan sebagainya. Perbandingan antara ukuran pada gambar dengan ukuran sesungguhnya dinamakan skala. Jadi, skala dapat mempunyai makna panjang pada gambar dibanding panjang sesungguhnya, lebar pada gambar dibanding lebar sesungguhnya atau tinggi pada gambar dibanding dengan tinggi sesungguhnya.
Terdapat 2 macam perbandingan yaitu perbandingan senilai (seharga) dan perbandingan berbalik nilai. Dua jenis data dikatakan mempunyai perbandingan senilai apabila bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis pertama berakibat bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis kedua. Sebaliknya, dua jenis data dikatakan mempunyai perbandingan berbalik nilai apabila bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis pertama berakibat berkurangnya (atau bertambahnya) data jenis kedua.

      Beberapa contoh permasalahan terkait dengan materi perbandingan antara lain:

Contoh 1.12
Sebuah taman bunga mempunyai ukuran 100m x 80m. Taman tersebut tergambar pada suatu kertas dengan skala 1 : 750. Tentukan luas pada gambar!

Contoh 1.13
Sebuah bangunan mempunyai ukuran panjang 25m, lebar 12m dan tinggi 10m. Bangunan tersebut dibuat maketnya dengan ukuran tinggi 25cm. Tentukan (a) skala maket tersebut, (b) panjang dan lebar maket tersebut!

      Bentuk perbandingan dapat dinyatakan dengan notasi : (titik dua) atau tanda per . Bentuk  dapat dinyatakan sebagai . Untuk memudahkan perhitungan maka perbandingan sebaiknya dibuat sedemikian rupa sehingga menjadi perbandingan yang paling sederhana.

Contoh 1.14
Pada gambar berikut,   dari lingkaran yang kecil dan  dari lingkaran yang besar diarsir. Tentukan perbandingan antara luas arsiran pada lingkaran kecil dengan luas arsiran pada lingkaran besar.


 






Contoh 1.15
Jika Amir dan Budi bekerja bersama maka suatu pekerjaan dapat diselesaikan selama 10 hari. Apabila Budi dan Cecep bekerja sama maka pekerjaan tersebut dapat diselesaikan dalam 15 hari, sedangkan apabila dikerjakan Amir dan Cecep maka pekerjaan akan selesai dalam 12 hari. Berapa hari yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut apabila ketiganya mengerjakan bersama-sama?
Penyelesaian:
Dalam satu hari;
Amir dan Budi dapat menyelesaikan   pekerjaan,
Budi dan Cecep dapat menyelesaikan  pekerjaan, dan
Amir dan Cecep dapat menyelesaikan  pekerjaan.
Misalkan:
A menyatakan banyak pekerjaan yang dapat diselesaikan Amir dalam satu hari,
B menyatakan banyak pekerjaan yang dapat diselesaikan Budi dalam satu hari, dan
C menyatakan banyak pekerjaan yang dapat diselesaikan Cecep dalam satu hari.
Diperoleh:
A + B =
B + C =
A + C =
Jadi (A + B) + (B + C) + (A + C) =   +  +
      Û 2(A + B + C) =
      Û A + B + C = .
Dengan demikian, apabila ketiga orang tersebut bekerja bersama-sama maka dalam satu hari dapat menyelesaikan  pekerjaan. Berarti pekerjaan akan selesai dalam waktu 8 hari.

C.  Latihan
1.    Banyak anak perempuan dalam sebuah keluarga 1 lebihnya dari banyak anak laki-laki. Setiap anak perempuan mempunyai saudara laki-laki sebanyak jumlah saudara perempuannya. Berapakah banyak anak perempuan dalam keluarga tersebut?
2.    Tiga orang pekerja mengecat rumah. Jika pekerjaan tersebut dilakukan oleh Pak Bonar dan Pak Zuhdi, memerlukan waktu 6 jam. Jika dikerjakan oleh Pak Zuhdi dan Pak Amin, memerlukan waktu 4 jam. Jika dikerjakan  oleh Pak Bonar dan Pak Amin, memerlukan waktu 5 jam. Pilih satu jawaban dari pilihan berikut yang paling mendekati waktu penyelesaian apabila ketiga orang tersebut bekerja bersama-sama.


D.  Rangkuman
Berdasarkan peubah yang terdapat pada setiap suku dalam bentuk aljabar, dapat dibedakan antara suku sejenis dan tidak sejenis. Dua suku bentuk aljabar dikatakan sejenis apabila kedua suku tersebut (i) identik, atau (ii) hanya berbeda pada koefisiennya.
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan. Persamaan yang mengandung satu peubah berpangkat 1 dinamakan persamaan linier satu variabel. Bentuk umum dari persamaan linier satu variabel adalah  dengan a dan b bilangan real dan     a ≠0.
Perbandingan antara ukuran pada gambar dengan ukuran sesungguhnya dinamakan skala. Terdapat 2 macam perbandingan yaitu perbandingan senilai (seharga) dan perbandingan berbalik nilai. Dua jenis data dikatakan mempunyai perbandingan senilai apabila bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis pertama berakibat bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis kedua. Sebaliknya, dua jenis data dikatakan mempunyai perbandingan berbalik nilai apabila bertambahnya (atau berkurangnya) data jenis pertama berakibat berkurangnya (atau bertambahnya) data jenis kedua.
  1. Tes Formatif 1
Jenis Soal Pilihan Ganda.
Petunjuk: Pilih jawaban yang benar!
1.    Bentuk sederhana dari  adalah ... .
A.                                           B.                  
C.                                            D.
2.    Suatu persegipanjang mempunyai panjang 2 kali lebarnya, dan kelilingnya adalah 96cm. Panjang dan lebar persegipanjang tersebut adalah ... .
A. 32cm dan 16cm                        B. 30cm dan 15cm
C. 28cm dan 14cm                        D. 26cm dan 13cm
3.    Umur ayah 10 tahun yang lalu 16 tahun lebih tua dari umur paman. Jika umur ayah sekarang 57 tahun, maka umur paman 10 yang lalu adalah ... .
A. 31 tahun                                    B. 41 tahun        
C. 51 tahun                                    D. 61 tahun
4.    Jika siswa yang tidak hadir perbulan sekurang-kurangnya 3 orang dan sebanyak-banyaknya 17 orang, maka rata-rata banyak siswa yang tidak hadir perbulan adalah ... .
A. 7 orang                                       B. 8 orang
C. 9 orang                                      D. 10 orang
5.    Seseorang dapat mengetik 1.800 kata dalam waktu 2 jam. Jika waktu yang tersedia hanya 1 jam 20 menit maka orang tersebut dapat mengetik sebanyak ... .
A. 1.200 kata                                  B. 1.300 kata
C. 1.400 kata                                  D. 1.500 kata      
6.    Uang sebanyak Rp75.000,00 dapat digunakan untuk membeli 6 meter kain. Jika uang yang tersedia sebanyak Rp187.500,00 maka panjang kain yang dapat dibeli maksimum ... .
A. 10 meter                                     B. 12 meter
C. 15 meter                                     D. 18 meter
7.    Suatu pekerjaan dapat diselesaikan selama 8 bulan oleh 50 orang pekerja. Jika pekerjaan yang sama ingin diselesaikan dalam waktu 5 bulan maka banyak pekerja yang harus ditambahkan adalah ... .
A. 30 orang                                    B. 40 orang
C. 60 orang                                    D. 80 orang
8.    Jika rumah yang berukuran 9m X 18 m pada gambar menjadi berukuran 7,5cm X 15cm maka skala gambar adalah ... .
A. 1 : 1,2                                          B. 1 : 12
C. 1 : 120                                        D. 1 : 1200
9.    Suatu jarak dapat ditempuh dalam waktu 1,5 jam oleh kendaraan dengan kecepatan rata-rata 48km/jam. Jika ingin ditempuh dalam waktu 1 jam, maka kecepatan rata-rata kendaraan adalah ... .
A. 32km/jam                                   B. 64km/jam
C. 72km/jam                                   D. 86km/jam
10. Harga 4 buah pulpen Rp6.000,00 dan harga 5 buah buku Rp12.000,00. Perbandingan harga 1 buah pulpen dengan 1 buah buku adalah ... .
A. 1 : 2                                             B. 3 : 4
C. 4 : 7                                             D. 5 : 8

Jenis Soal Uraian.
Petunjuk: Kerjakan dengan lengkap dan benar!
1.    Badru mempunyai satu bundel tiket sepak bola untuk dijual. Pada hari Minggu ia dapat menjual 10 lembar tiket kepada keluarganya. Pada hari Senin ia dapat menjual setengah dari tiket yang tersisa. Pada hari Selasa ia menjual 5 tiket kepada teman sekolahnya dan 2 tiket terakhir kepada dua orang gurunya. Berapa lembar tiket yang ada dalam satu bundel?
2.    Kadar garam dalam enam liter air laut adalah 4%. Setelah air laut tersebut menguap sebanyak 1 liter, berapa persen kadar garam dalam air tersebut?
3.    Untuk menempuh perjalanan dari kota A ke kota B, dengan kecepatan rata-rata 60km/jam, seorang sopir bis biasanya memerlukan waktu selama 6 jam 40 menit. Tentukan kecepatan rata-rata bis tersebut agar ia tiba di kota B dalam waktu 1 jam 20 menit lebih awal dari biasanya.

BAB III  KEGIATAN BELAJAR 3

A. Kompetensi dan Indikator
1. Kompetensi
a.   Mampu menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah
b.   Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus
c.   Memahami sistem persamaan linear dua variabel  dan menggunakannya dalam pemecahan masalah

2. Indikator
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini,  Anda diharapkan dapat:
a.    Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya
b.    Memahami konsep himpunan bagian
c.    Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan
d.    Menyajikan himpunan dengan diagram Venn
e.    Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah
f.     Melakukan operasi aljabar
g.    Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya
h.    Memahami relasi dan fungsi
i.      Menentukan nilai fungsi
j.      Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat Cartesius
k.    Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus
l.      Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel
m.   Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel
n.    Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya

B. Uraian Materi
1. Himpunan
Himpunan merupakan kumpulan dari benda (obyek) yang didefinisikan dengan jelas. Kata ”jelas” diartikan bahwa syarat keanggotaan dari suatu himpunan dapat ditentukan dengan jelas. Obyek dari suatu himpunan dinamakan anggota (elemen) dari himpunan tersebut. Elemen dari suatu himpunan dapat berupa bilangan, orang, binatang dan sebagainya.
Suatu himpunan biasanya disimbolkan dengan huruf besar. Misalkan himpunan lima bilangan asli  yang pertama dapat dituliskan A={1,2,3,4,5}.
Terdapat 3 cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu dengan cara (1) menyebutkan syarat keanggotaan (dengan kata-kata), (2) mendaftar anggota-anggotanya (tabulasi) dan (3) notasi pembentuk himpunan.
b.    Menyatakan himpunan dengan menyebutkan syarat keanggotaan (dengan kata-kata)
Untuk menyatakan himpunan A yang memuat 1,2,3,4,5 dengan cara menyebutkan syarat keanggotaan adalah:
A adalah himpunan yang memuat 5 lima bilangan asli yang pertama, atau A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 6.
Dalam menyatakan himpunan dengan menyebutkan syarat keanggotaannya, tidak digunakan simbol kurung kurawal.
c.    Menyatakan himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya
Pada cara ini, semua atau sebagian anggotanya dituliskan dalam kurung kurawal.
Contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {Minggu, Selasa, Kamis}
C = {1,2,3, ... , 100}
D = {1,3,5, ... }
d.    Menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan
Pada cara ini, anggota-anggotanya tidak dituliskan. Notasi yang digunakan adalah A = {...½...}. Sebagai contoh, jika A = {1,2,3,4,5} maka dinotasikan dengan A = {x½x<6 asli="asli" bilangan="bilangan" span="span" x="x">
Berdasarkan banyak anggotanya, himpunan dapat dibedakan menjadi dua yaitu himpunan berhingga dan tidak berhingga. Sebuah himpunan dikatakan berhingga apabila himpunan tersebut terdiri atas sejumlah tertentu elemen-elemen berbeda. Artinya, apabila kita menghitung elemen-elemen yang berbeda dari himpunan tersebut, maka proses penghitungannya dapat berakhir. Bila tidak demikian, maka himpunan tersebut dikatakan tak berhingga.

Contoh 2.1
Misalkan A adalah himpunan dari hari-hari dalam satu minggu, B = {2,4,6,...} dan C = {xçx adalah sungai di bumi}.
A dan C merupakan himpunan berhingga sedangkan B merupakan himpunan tak berhingga. Meskipun pada prakteknya, sulit untuk menghitung semua sungai di bumi, tetapi jumlahnya berhingga.

Dua buah himpunan dikatakan sama apabila keduanya mempunyai elemen-elemen yang sama. Dengan demikian, A = B jika semua elemen di A merupakan elemen di B dan juga semua elemen di B merupakan elemen di A.

Contoh 2.2
A = {1,2,3,4} dan B adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 5 merupakan himpunan yang sama. Demikian pula C = {xçx2=100} dan D = {-10, 10} merupakan himpunan yang sama. Himpunan E = {1,2,3} dan F = {1,2,1,2,3,2} juga merupakan himpunan yang sama.
Himpunan yang tidak mempunyai elemen dinamakan himpunan kosong dan disimbolkan dengan { } atau Æ. Sebagai contoh P ={x çx2 = 4, x bilangan ganjil} merupakan himpunan kosong. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Pernyataan tersebut bernilai benar berdasarkan kebenaran implikasi pada logika matematika. Implikasi p Þ q akan selalu bernilai benar apabila pernyataan p bernilai salah. Implikasi ”Jika xÎÆ maka xÎA” akan selalu bernilai benar karena pernyataan ”xÎÆ bernilai salah. Æ tidak pernah mempunyai anggota sehingga pernyataan “xÎÆselalu bernilai salah.

2.   Operasi-Operasi pada Himpunan
Operasi-operasi yang berlaku pada himpunan antara lain gabungan (perpaduan), irisan (perpotongan), komplemen dan selisih.
a.   Gabungan
Gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang memuat semua elemen yang termasuk dalam A atau B. Operasi gabungan disimbolkan dengan È. Jadi AÈB = {x çxÎA atau xÎB}. Dalam bentuk digram Venn digambarkan sebagai daerah yang diarsir berikut ini.


 





Contoh 2.3
Jika A adalah himpunan semua bilangan asli kelipatan 2 dan B adalah himpunan semua bilangan asli kelipatan 3 maka AÈB = {2,3,4,6,8,9,10, ...}

b.   Irisan
Irisan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang memuat semua elemen yang termasuk dalam A dan sekaligus masuk dalam B. Operasi irisan disimbolkan dengan Ç. Jadi AÇB = {x ç xÎA dan xÎB}. Dalam bentuk digram Venn digambarkan sebagai daerah yang diarsir berikut ini.



 





Contoh 2.4
Jika A adalah himpunan semua bilangan asli kelipatan 2 dan B adalah himpunan semua bilangan asli kelipatan 3 maka AÇB = {6,12,18, ...}


c.   Komplemen
      Jika A suatu himpunan, maka komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang memuat elemen-elemen dalam himpunan semesta (S) tetapi tidak termasuk dalam  A. Komplemen dari A disimbolkan dengan A’. Jadi A’ = {x çxÎS, xÏA}.


 





      Contoh 2.5
Jika A adalah himpunan semua bilangan rasional dan S adalah himpunan semua bilangan real maka A’ adalah himpunan semua bilangan irasional. Berdasarkan contoh tersebut dapat dikatakan bahwa bilangan real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
e.    Selisih
Selisih dari himpunan A dan B (disimbolkan dengan A – B atau A/B) adalah himpunan yang memuat elemen-elemen di A tetapi tidak termasuk dalam himpunan B.
Diagram Venn berikut ini menggambarkan himpunan A - B.



 






Contoh 2.6
Jika A adalah himpunan semua bilangan bulat dan B adalah himpunan semua bilangan bulat negatif maka A – B adalah himpunan semua bilangan cacah, sedangkan B – A adalah himpunan kosong (Æ).


3. Prinsip Inklusi dan Eksklusi pada Himpunan
Misalkan A dan B sembarang himpunan. Penjumlahan n(A)+n(B) berarti  menghitung banyaknya elemen A yang tidak terdapat dalam B dan banyaknya elemen B yang tidak terdapat dalam A tepat satu kali, dan banyaknya elemen yang terdapat dalam A ∩ B sebanyak dua kali. Oleh karena itu, pengurangan banyaknya elemen yang terdapat dalam A∩B dari n(A)+n(B) membuat banyaknya anggota A ∩ B dihitung tepat satu kali. Dengan demikian, n(AB)= n(A)+n(B) – n(A∩B). Generalisasi dari hal tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan dinamakan prinsip inklusi-eksklusi. Prinsip inklusi dan eksklusi untuk 3 buah himpunan adalah n(AÈBÈC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AÇB) – n(AÇC) – n(BÇC) + n (AÇBÇC). Pola yang sama untuk lebih dari 3 himpunan.

      
Contoh 2.7
Dalam sebuah kelas terdapat 25 siswa yang menyukai matematika, 13 siswa menyukai  IPA dan 8 orang diantaranya menyukai matematika   dan  IPA. Berapa siswa terdapat dalam kelas tersebut?
Penyelesaian:
Misalkan A himpunan siswa yang menyukai matematika   dan B himpunan siswa yang menyukai  IPA. Himpunan siswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat dinyatakan sebagai himpunan A ∩ B. Banyaknya siswa yang menyukai salah satu dari kedua mata kuliah tersebut atau keduanya dinyatakan dengan n(AB). Dengan demikian n(AB) = n(A)+n(B) – n(A∩B) = 25 + 13 – 8 = 30. Jadi, terdapat 30 orang siswa dalam kelas tersebut.

Contoh 2.8
Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 7 atau 11 ?
Penyelesaian:
Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 11. Dengan demikian P Q adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11, dan P ∩ Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan habis dibagi 11.
n(P) =  bagian bulat dari  (1000:7) 142
n(Q) = bagian bulat dari (1000 : 11) = 90
n(P∩Q) = bagian bulat dari (1000 : KPK[7,11]) = 12
 n(PQ) = n(P)+n(Q) – n(P∩Q) = 142 + 90 – 12 = 220.
Jadi terdapat 220 bilangan bulat positif tidak melampui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11.

Contoh 2.9
Dari pendataan terhadap makanan kesukaan di suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa, diperoleh 15 siswa gemar bakso, 17 siswa gemar soto dan 18 siswa gemar nasi goreng. Siswa yang menggemari bakso sekaligus soto sebanyak 6 siswa, yang menggemari soto sekaligus nasi goreng sebanyak 4 siswa dan menggemari bakso sekaligus nasi goreng sebanyak 5 siswa.  Jika terdapat 3 siswa yang tidak menggemari satupun dari ketiga makanan tersebut:
a.   berapakah banyak siswa yang menggemari ketiga-ketiganya?
b.   berapakah banyak siswa yang hanya menggemari nasi goreng?
Penyelesaian:
a. Misalkan:   B adalah himpunan penggemar bakso,
                        S adalah himpunan penggemar soto, dan
                        N adalah himpunan penggemar nasi goreng.
Diperoleh n(B) = 15, n(S) = 17, n(N) = 18, n(BÇS) = 6, n(SÇN) = 4 dan n(BÇN) = 5.
Karena terdapat 3 siswa yang tidak menggemari ketiganya, maka n(BÈSÈN) = 40 – 3 = 37.
Berdasarkan prinsip inklusi dan eksklusi diperoleh:
n(BÈSÈN) = n(B) + n(S) + n(N) - n(BÇS) - n(SÇN) - n(BÇN)+ n(BÇSÇN)
Û 37 = 15 + 17 + 18 – 6 – 4 – 5 + n(BÇSÇN)
Û n(BÇSÇN) = 2
Jadi terdapat 2 siswa yang menggemari ketiga makanan sekaligus.
b.    Untuk menjawab soal b, digunakan diagram Venn berikut, dengan pengisian pertama dimulai pada (BÇSÇN).
      








      
Berdasarkan diagram Venn di atas, banyak siswa yang hanya menggemari nasi goreng adalah 11 orang.

3. Relasi dan Fungsi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.Relasi antara 2 himpunan dapat dinyatakan dengan (a) diagram panah, (b) diagram Cartesius dan (c) himpunan pasangan berurutan. Misalkan terdapat dua himpunan yaitu A={Amir, Budi, Cecep} dan B={bakso, sate}. Misalkan relasi “gemar makan” antara A dan B dapat digambarkan ke dalam diagram panah berikut:


 







Dalam diagram Cartesius relasi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:







Dalam himpunan pasangan berurutan, relasi tersebut dapat dinyatakansebagai (Amir,bakso),(Budi,bakso),(Budi,sate),(Cecep,sate)} Fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Apabila terdapat suatu pemetaan dari A ke B maka A dinamakan daerah asal (domain) dan B dinamakan daerah kawan (kodomain). Terdapat 2 kata kunci dalam mendefinisikan fungsi yaitu “setiap” dan “tepat satu”. Kata “setiap” mempunyai makna bahwa semua anggota domain harus mempunyai pasangan. Kata “tepat satu” mempunyai makna bahwa pasangan dari setiap anggota domain hanyalah satu. Secara kontekstual, pemetaan dapat diidentikkan dengan sistem kerja senapan yang baik. Senapan yang baik diartikan sebagai “tidak ada peluru yang macet” dan “tidak ada peluru yang pecah”. Relasi “gemar makan” pada contoh di atas bukan merupakan fungsi karena terdapat elemen di domain yaitu Budi yang dipasangkan dengan lebih dari satu elemen yaitu bakso dan sate.
        Suatu fungsi yang dinyatakan dengan aturan tertentu umumnya diberi nama dengan menggunakan huruf kecil misalnya f,g,h dan huruf-huruf lainnya. Misalkan fungsi  dibaca “fungsi f memetakan  ke  dan dapat dinyatakan dalam rumus fungsi yaitu
Beberapa contoh soal terkait dengan materi relasi dan fungsi.

Contoh 2.10
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus . Diketahui  dan . Tentukan (a). nilai p dan q, (b). bentuk fungsinya, dan (c).  

Contoh 2.11
Tulislah rumus fungsi yang mungkin untuk himpunan pasangan berurutan {(1,0),(2,2),(3,6),(4,12),(5,20),…}. Jika anggota domainnya 15, berapakah petanya?

Contoh 2.12
Seorang pedagang menetapkan potongan harga untuk pembelian kemeja merek tertentu dengan harga perbuah Rp80.000,00 dengan ketentuan sebagai berikut:
Banyak Pembelian
Banyak potongan (Rp)
1
 0
2
15.000
3
20.000
4
25.000
5
30.000
.
.
.
.
.
.

(a).   Tentukan rumus fungsi  yang menyatakan jumah uang yang harus dibayarkan bila x menyatakan banyak kemeja yang dibeli.
(b).   Tentukan uang yang harus dibayarkan oleh konsumen yang membeli 10 kemeja.

4. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah  dengan a,b,c bilangan real dengan a dan b keduanya tidak sama dengan nol. Permasalaan yang menyangkut satu atau lebih persamaan linier dua variabel dinamakan sistem persamaan linier dua variabel. Pasangan  dinamakan anggota himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel apabila nilai x dan y secara bersama-sama memenuhi semua persamaan yang terdapat dalam sistem tersebut. Berdasarkan keberadaan penyelesaiannya, sistem persamaan linier dapat dibedakan menjadi 3 macam:
c.    tidak mempunyai penyelesaian,
d.    tepat mempunyai satu penyelesaian, dan
e.    mempunyai tak terhingga penyelesaian
Menentukan penyelesaian sistem persamaan liner 2 variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara antara lain (a). metode grafik, (b). metode substitusi, (c). metode eliminasi, (d) gabungan metode eliminasi dan substitusi, (e) eliminasi Gauss, (f) eliminasi Gauss-Jordan dan (g) Atruran Cramer. Untuk pembelajaran tingkat SMP, hanyalah metode (a) sampai dengan (d) saja yang diajarkan.
(a). Metode Grafik
Misalkan diketahui sistem persamaan linier:
            x + y = 4
            2x – y = 2
Dengan menggambarkan sistem tersebut pada koordinat Cartesius diperoleh hasil sebagai berikut:


 










Penyelesaian dari sistem tersebut adalah titik potong kedua garis yaitu (2,2). Jadi x=2 dan y=2.

(b).   Metode Substitusi
  Misalkan diketahui sistem persamaan linier:
  3x + y = 7
  2x –3y = 1
Namakan persamaan
            (1). 3x + y = 7
              (2). 2x –3y = 1
Berdasarkan persamaan (1) diperoleh 3x + y = 7 Û y=7-3x. Dengan mensubstitusikan y=7-3x ke dalam persamaan(2) diperoleh
  2x –3y = 1      Û 2x-3(7-3x)=1
Û 2x-21+9x=1
Û 11x=22
Û x=2
Dengan mensubstitusikan x=2 ke persamaan y=7-3x diperoleh y=7-3.2=1.
Jadi penyelesaian dari sistem tersubut adalah x=2 dan y=1.

(c).    Metode Eliminasi                
Misalkan diketahui sistem persamaan linier:
x -2y = 5
2x +y = 5
Namakan persamaan        
(1). x -2y = 5
                     (2). 2x +y = 5
Dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 1, diperoleh:
x -2y = 5         x 2   2x-4y=10
2x +y = 5        x 1   2x+y=5  
 -5y=5
   y=-1
Dengan mengalikan persamaan (1) dengan 1 dan persamaan (2) dengan 2, diperoleh:

x -2y = 5        x 1   x - 2y =5
2x +y = 5       x 2   4x+2y=10         
   5x    = 15
    x= 3.
Diperoleh penyelesaian dari sistem tersubut adalah x=3 dan y=-1.

(d).   Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi
Misalkan diketahui sistem persamaan linier:
4x -3y = -1
3x +y = 9
Namakan persamaan       
(1). 4x -3y = -1
  (2). 3x +y = 9
Dengan mengalikan persamaan (1) dengan 1 dan persamaan (2) dengan 3, diperoleh:
4x -3y = -1     x 1   4x-3y=-1
3x +y = 9       x 3   9x+3y=27         
13x=26
                                    x=2
Dengan mensubstitusikan x=2 ke persamaan (1) diperoleh:
4x -3y = -1     Û 4.2-3y=-1
Û 8-3y=-1
Û -3y=-9
Û y=3
Diperoleh penyelesaian dari sistem tersebut adalah x=2 dan y=3.

Contoh 20 dan 21 berikut ini perlu dikaji dalam kegiatan pembelajaran di kelas untuk lebih memantapkan pemahaman siswa terkait dengan makna dari himpunan penyelesaian.

Contoh 2.13
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier:
2x – y = 1
-4x + 2y = 6
Penyelesaian:
Dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 1,  diperoleh:
2x - y =  1     x 2   4x - 2y = 2
-4x +2y= 6  x 1   -4x+2y=12       
                              0.x+0.y = 14
Jelas bahwa tidak terdapat x dan y yang memenuhi  0.x+0.y = 14. Jadi himpunan peanyelesaian dari sistem persamaan linier tersebut adalah himpunan kosong.                      

Contoh 2.14
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier:
x – 2y = 5
-2x + 4y = -10

Contoh 2.15
Tecatat 480 orang hadir dalam suatu pertunjukkan dengan tiket masuk Rp14.000,00 untuk tempat duduk di depan dan Rp26.000,00 untuk tempat duduk belakang. Hasil penjualan tiket masuk pertunjukkan tersebut adalah Rp8.310.000,00. Berapa banyak tempat duduk depan dan belakang yang ditempati?


Contoh 2.16
Lima buku dan dua pensil dijual seharga Rp24.000,00. Tiap buku harganya lebih mahal Rp2.000,00 dari harga pensil. Tentukan harga sebuah buku!

C. Latihan
1.   Untuk keperluan suatu pesta, seseorang membeli jeruk dan apel yang sama banyak. Setiap 3 buah jeruk dijual seharga Rp2.000,00 dan setiap 4 buah apel dijual seharga Rp3.000,00. Untuk keperluan tersebut dia membayar pembelian apel Rp5.000,00 lebih banyak dari  pada pembelian jeruk. Tentukan berapa harga pembelian keseluruhan.

2.   Umur sang ayah saat ini 24 tahun lebih tua dari pada anaknya. Dua tahun yang lalu, umur sang ayah 4 kali lebih tua dari anaknya. Berapa umur anak 5 tahun yang akan datang?

D. Rangkuman
Himpunan merupakan kumpulan dari benda (obyek) yang didefinisikan dengan jelas. Kata ”jelas” diartikan bahwa syarat keanggotaan dari suatu himpunan dapat ditentukan dengan jelas. Obyek dari suatu himpunan dinamakan anggota (elemen) dari himpunan tersebut. Elemen dari suatu himpunan dapat berupa bilangan, orang, binatang dan sebagainya.
Berdasarkan prinsip inklusi dan eksklusi, berlaku n(AB)= n(A)+n(B) – n(A∩B). Prinsip inklusi dan eksklusi untuk 3 buah himpunan adalah      n(AÈBÈC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AÇB) – n(AÇC) – n(BÇC) + n (AÇBÇC). Pola yang sama berlaku  untuk lebih dari 3 himpunan.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Relasi antara 2 himpunan dapat dinyatakan dengan (a) diagram panah, (b) diagram Cartesius dan (c) himpunan pasangan berurutan.
Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah  dengan a,b,c bilangan real dan a, b keduanya tidak sama dengan nol. Permasalahan yang menyangkut satu atau lebih persamaan linier dua variabel dinamakan sistem persamaan linier dua variabel. Pasangan  dinamakan anggota himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel apabila nilai x dan y secara bersama-sama memenuhi semua persamaan yang terdapat dalam sistem tersebut.

E.  Tes Formatif 2
Jenis Soal Pilihan Ganda.
Petunjuk: Pilih jawaban yang benar!
1.    Suatu pemilihan umum diikuti oleh 3 partai yaitu parta P, partai Q dan partai R. Jumlah pemilih yang terdaftar adalah 60.000 orang. Jika 40 orang tidak menggunakan hak pilihnya dan dari pemilih yang menggunakan haknya ternyata 30% memilih partai P, 45% memilih partai Q dan sisanya memilih partai R maka banyak pemilih partai R adalah ... .
A. 14.990 orang                             B. 15.990 orang
C. 14.988 orang                            D. 15.988 orang
2.    Dalam suatu kelas diketahui 20 orang gemar PPKn, 29 orang gemar Bahasa Indonesia, 9 orang gemar keduanya dan 4 orang tidak gemar kedua pelajaran tersebut. Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah ... .
A. 40 orang                                    B. 42 orang
C. 44 orang                                    D. 46 orang
3.    Relasi dua himpunan di bawah ini yang bukan merupakan fungsi adalah ... .
A. Himpunan siswa dengan nomor absennya di kelas
B. Himpunan negara-negara dengan himpunan benderanya
C. Himpunan negara-negara dengan himpunan lagu kebangsaannya
D. Himpunan siswa dengan hobinya
4.    Suatu fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = ax + b. Jika f(3) = 3 dan f(-2) = -7 maka nilai dari f(10) adalah ... .
A. 16                                                B. 17
C. 18                                                D. 19
5.    Sisa beras yang disimpan dalam suatu gudang tercatat seberat 6.650 kg. Beras tersebut dikemas dalam 2 macam kantong berukuran 10kg dan 20kg. Jika jumlah keselurahan kantong adalah 440, tentukan banyak kantong yang berukuran 20kg!
A. 210                                              B. 220
C. 225                                             D. 230                                
6.    Lima buku dan dua pensil dijual seharga Rp24.000,00. Tiap buku harganya lebih mahal Rp2.000,00 dari harga pensil. Tentukan harga sebuah buku!
A. Rp4.000,00                                B. Rp4.500,00
C. Rp5.000,00                               D. Rp5.500,00
7.    Suatu pertandingan tenis dihadiri oleh 620 orang. Harga karcis perlembar untuk tempat duduk depan adalah Rp 50.000,00 dan untuk tempat duduk di belakang adalah Rp 35.000,00. Hasil penjualan karcis pada pertandingan tersebut sebesar Rp. 25.750.000,00. Berapa tiket untuk tempat duduk depan dan belakang yang terjual?
A. 250 dan 370                              B. 370 dan 250
C. 270 dan 350                              D. 350 dan 270
8.    Syamsudin mempunyai 30 keping uang logam terdiri dari Rp200,00 dan Rp500,00. Jika keseluruhan uang Syamsudin adalah Rp10.200,00 maka banyaknya uang logam Rp200,00 dan Rp500,00 berturut-turut adalah… .
A. 16 dan 14                                  B. 17 dan 13
C. 18 dan 12                                  D. 19 dan 11
9.    Suatu sistem persamaan linier dua variabel dengan 2 buah persamaan tidak mempunyai penyelesaian apabila keduanya merupakan garis lurus yang ... .
A. berpotongan                             B. sejajar, tidak berimpit
C. berimpit                                      D. berpotongan tegak lurus
10. Dari 30 siswa yang mengikuti tes, diketahui 20 siswa lulus matematika, 22 siswa lulus IPA dan 25 siswa lulus IPS. Berapa kemungkinan paling banyak, siswa yang lulus ketiga mata pelajaran tersebut?
A. 25 siswa                                     B. 24 siswa
C. 22 siswa                                    D. 20 siswa

Jenis Soal Uraian.
Petunjuk: Kerjakan dengan lengkap dan benar!
1.    Pembilang dan penyebut suatu pecahan mempunyai perbandingan 2:3. Apabila 4 kali pembilang ditambah dengan 2 kali penyebut menghasilkan 112, tentukan pecahan tersebut!
2.    Berapa banyak elemen yang terdapat dalam gabungan dari lima himpunan jika setiap himpunan memiliki 10000 anggota, setiap pasang elemen memiliki 1000 elemen bersama, setiap pasangan tiga himpunan memiliki 100 elemen bersama, setiap empat himpunan memiliki 10 elemen bersama dan terdapat satu elemen bersama dari ke lima himpunan ?
3.    Berapa banyak elemen yang terdapat dalam himpunan A1ÈA2ÈA3 jika terdapat 100 elemen dalam A1, 1000 elemen dalam A2 dan 10000 elemen dalam A3, dan jika:
(a). A1ÌA2 dan A2ÌA3
(b). Terdapat dua elemen bersama pada setiap pasang himpunan dan satu elemen bersama dari setiap pasangan tiga himpunan.

Kunci Jawaban Tes Formatif 1
Soal Pilihan Ganda:
  1. B
  2. A
  3. A
  4. D
  5. A
  6. C
  7. D
  8. C
  9. C
  10. D
    Soal Uraian:
1.  Misalkan n menyatakan banyaknya tiket dalam satu bundel.
Diperoleh (n – 10) - (n – 10) – 5 – 2 = 0
Û (n – 10) = 7
Û n – 10 = 14
Û n = 28
Jadi banyak tiket dalam 1 bundel adalah 28 lembar.
2.       Kadar garam setelah air menguap sebanyak 1 liter adalah .
3.       Misalkan
                         
                         

         Diperoleh
                                  Û
                          Û
                          Û
Jadi kecepatan rata-rata bis agar tiba di B dalam waktu 1 jam 20 menit lebih awal adal 75km/jam.


Kunci Jawaban Tes Formatif 2
Soal Pilihan Ganda:
  1. A
  2. C
  3. D
  4. B
  5. C
  6. A
  7. D
  8. A
  9. B
  10. D
Soal Uraian:
  1. Misalkan bilangan pembilang adalah a dan penyebut adalah b.
Diperoleh:
(1) a : b = 2 : 3
(2) 4a + 2 b = 112

3a – 2b = 0
4a + 2b = 112
7a = 112
a =  16
3.16 – 2b = 0
2b = 48
b = 24
Jadi pecahan tersebut adalah .
2.                                                       n(AÈBÈCÈDÈE) = 5.n(A) – 10.n(AÇB) + 10.n(AÇBÇC) – 5.n(AÇBÇCÇD) + n(AÇBÇCÇDÇE)
= 5X10000 – 10X1000 + 10X100 – 5X10 + 1
= 50.000 – 10.000 + 1.000 – 50 + 1
= 40.951
3.                                                       n(A1) = 100
n(A2) = 1000
n(A3) = 10000
            (a). n(A1ÇA2) = n(A1) = 100
n(A1ÇA3) = n(A1) = 100
n(A2ÇA3) = n(A2) = 1000
n(A1ÇA2ÇA3) = n(A1) = 100
Jadi n(A1ÈA2ÈA3) = 100 + 1000 + 10000 – 100 - 100 – 1000 + 100
= 10000
Hasil penghitungan dengan prinsip inklusi dan eksklusi ini sama dengan hasil apabila kita hanya memperhatikan A1ÌA2 dan A2ÌA3 sehingga n(A1ÈA2ÈA3) = n(A3) = 10000.
(b).  n(A1ÇA2) = 2
n(A1ÇA3) = 2
n(A2ÇA3) = 2
n(A1ÇA2ÇA3) = 1
Jadi n(A1ÈA2ÈA3) = 100 + 1000 + 10000 – 2 - 2 – 2 + 1= 11095.









GLOSARIUM

Diagram Venn
Diagram yang menunjukkan hubungan antar himpunan.
Eliminasi
Suatu cara penyelesaian sistem persamaan linier dengan cara menghilangkan variabel yang sedang tidak dicari
Himpunan
Sekumpulan objek yang terdefinisikan dengan jelas syarat keanggotaannya
Persamaan
Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan
Prinsip inklusi dan eksklusi
Formula hubungan antara banyak elemen suatu himpunan, gabungan dan irisannya
Substitusi
Suatu cara penyelesaian sistem persamaan linier dengan cara menggantikan suatu variabel agar variabel yang muncul menjadi sejenis
Variabel
Suatu entitas (objek) yang dapat diubah





















Tidak ada komentar:

Posting Komentar